北九州市立大学 2/25 国際環境工学部 数学解答のスレ
[1] PC/IE
2013/02/28 14:19
平成25年度 北九州市立大学 国際環境工学部の数学の解答を作るスレです。
今年の国際環境工学部の数学の第3問は、
例年の問題とは問題の傾向が変わり、多くの受験生がこの問題を
落としてしまったようです。
第1問から順に自分なりの解答を投稿します。
便宜上、途中の計算を省略することがあります。
2013/02/28 14:19
平成25年度 北九州市立大学 国際環境工学部の数学の解答を作るスレです。
今年の国際環境工学部の数学の第3問は、
例年の問題とは問題の傾向が変わり、多くの受験生がこの問題を
落としてしまったようです。
第1問から順に自分なりの解答を投稿します。
便宜上、途中の計算を省略することがあります。
[2] PC/IE
2013/02/28 15:10
第1問
(1)√(6+4√2)の小数部分aを求める。
二重根号は忘れた頃に現れますね。
知らないと解けないですね
回答は↓です。
√(6+2√8)
=√{(4+2)+2√(4×2)}
=√4+√2
=2+√2
ここで、√2≒1,41‥より、
2+√2≒3,41‥
ゆえに、a=2+√2-3=√2-1 ‥ア
a^2-1/a^2=(a-1/a)^2+2
=(2√2)^2
=10 ‥イ
(2)y=3x^2-6x+a+6 (0≦x≦3)の最小値が5となるような
定数aの値とこのときの最大値
やはり平方完成してグラフを考えると簡単です。
y=3(x-1)^2+a+3
軸x=1、頂点(1,a+3)
頂点が定義域内にあるので、
頂点がそのまま最小値で a+3=5
∴a=2‥ウ
また、x=3のとき最大値17
(3)0、1、2、3、4、5の6個の数字のうち3つを使って
3桁の整数をつくる。できる整数の個数と偶数の個数を求めよ。
百の位に0はこないので、
百の位が1〜5の5通り、十の位が0を含む百の位以外の5通り、
一の位が残りの4通り
ゆえに、
5×5×4=100(個) ‥オ
また、偶数は一の位が0、2、4である
(i)一の位が2か4のとき
百の位が一の位と0以外の4通り、十の位が残りの4通りであるので、
2×4×4=32(個)
(ii)一の位が0のとき
百の位が一の位以外の5通り、十の位が残りの4通りであるので、
5×4=20(個)
よって、32+20=52(個) ‥カ
2013/02/28 15:10
第1問
(1)√(6+4√2)の小数部分aを求める。
二重根号は忘れた頃に現れますね。
知らないと解けないですね
回答は↓です。
√(6+2√8)
=√{(4+2)+2√(4×2)}
=√4+√2
=2+√2
ここで、√2≒1,41‥より、
2+√2≒3,41‥
ゆえに、a=2+√2-3=√2-1 ‥ア
a^2-1/a^2=(a-1/a)^2+2
=(2√2)^2
=10 ‥イ
(2)y=3x^2-6x+a+6 (0≦x≦3)の最小値が5となるような
定数aの値とこのときの最大値
やはり平方完成してグラフを考えると簡単です。
y=3(x-1)^2+a+3
軸x=1、頂点(1,a+3)
頂点が定義域内にあるので、
頂点がそのまま最小値で a+3=5
∴a=2‥ウ
また、x=3のとき最大値17
(3)0、1、2、3、4、5の6個の数字のうち3つを使って
3桁の整数をつくる。できる整数の個数と偶数の個数を求めよ。
百の位に0はこないので、
百の位が1〜5の5通り、十の位が0を含む百の位以外の5通り、
一の位が残りの4通り
ゆえに、
5×5×4=100(個) ‥オ
また、偶数は一の位が0、2、4である
(i)一の位が2か4のとき
百の位が一の位と0以外の4通り、十の位が残りの4通りであるので、
2×4×4=32(個)
(ii)一の位が0のとき
百の位が一の位以外の5通り、十の位が残りの4通りであるので、
5×4=20(個)
よって、32+20=52(個) ‥カ
[3] PC/IE
2013/02/28 16:18
今更ですが、問題文を省略して回答のみ書き込みます。
第1問
(4)四角形ABCDは円に内接するので、cosA=-cosC
また、△ABDと△BCDに余弦定理より、
BD^2=34-30cosA‥@
BD^2=98+98cosA‥A
@Aより、
cosA=-1/2
cosA=cosθなので、
cosθ=1/2 ‥キ
よって、θ=120°
また、△ABDと△BCDの面積は、
△ABD:15√3/4
△BCD:49√3/4
よって、四角形ABCDの面積は、上の二つの合計なので、
16√3 ‥ク
(5)
2枚とも赤いカードになるのは、
C[4,2]/C[7,2]=2/7 ‥ケ
とりうる、合計点は2点、6点、10点
それぞれの確率は、
2点‥2/7
6点‥C[3,1]×C[4,1]/C[7,2]=4/7
10点‥1/7
よって期待値は、
1/7(2×2+4×6+10)=38/7 ‥コ
2013/02/28 16:18
今更ですが、問題文を省略して回答のみ書き込みます。
第1問
(4)四角形ABCDは円に内接するので、cosA=-cosC
また、△ABDと△BCDに余弦定理より、
BD^2=34-30cosA‥@
BD^2=98+98cosA‥A
@Aより、
cosA=-1/2
cosA=cosθなので、
cosθ=1/2 ‥キ
よって、θ=120°
また、△ABDと△BCDの面積は、
△ABD:15√3/4
△BCD:49√3/4
よって、四角形ABCDの面積は、上の二つの合計なので、
16√3 ‥ク
(5)
2枚とも赤いカードになるのは、
C[4,2]/C[7,2]=2/7 ‥ケ
とりうる、合計点は2点、6点、10点
それぞれの確率は、
2点‥2/7
6点‥C[3,1]×C[4,1]/C[7,2]=4/7
10点‥1/7
よって期待値は、
1/7(2×2+4×6+10)=38/7 ‥コ
[4] PC/IE
2013/02/28 17:14
第2問
(1)因数分解した方が計算がらくになりますよ。
x^2+5xy+4y^2
=(x+y)(x+4y)
=2(5-3i)
=10-6i
よって、実部が10、虚部が-6
(2)円の方程式を、(x+a)^2+(y+b)^2=10とする。
これは、2点(-1,0)(3,2)を通るので、
それぞれ代入して辺々引いて整理すると、
b=-2a-3
よって、中心の座標は(a,-2a-3)と表される。
これと、点(-1,0)の距離が√10より、
(a+1)^2+(2a+3)^2=10
∴a=0,-(14/5)
よって、a=0のとき、中心の座標(0,-3)
a=,-(14/5)のとき、中心の座標(,-(14/5),13/5) ‥スセソタ
(3)α、βはともに鋭角なので、
cosα>0、cosβ>0
よって、sinα=1/3、sinβ=3/5より、
cosα=2√2/3、cosβ=4/5
ゆえに、sin(α+β)=(4+6√2)/15 ‥チ
2013/02/28 17:14
第2問
(1)因数分解した方が計算がらくになりますよ。
x^2+5xy+4y^2
=(x+y)(x+4y)
=2(5-3i)
=10-6i
よって、実部が10、虚部が-6
(2)円の方程式を、(x+a)^2+(y+b)^2=10とする。
これは、2点(-1,0)(3,2)を通るので、
それぞれ代入して辺々引いて整理すると、
b=-2a-3
よって、中心の座標は(a,-2a-3)と表される。
これと、点(-1,0)の距離が√10より、
(a+1)^2+(2a+3)^2=10
∴a=0,-(14/5)
よって、a=0のとき、中心の座標(0,-3)
a=,-(14/5)のとき、中心の座標(,-(14/5),13/5) ‥スセソタ
(3)α、βはともに鋭角なので、
cosα>0、cosβ>0
よって、sinα=1/3、sinβ=3/5より、
cosα=2√2/3、cosβ=4/5
ゆえに、sin(α+β)=(4+6√2)/15 ‥チ
[5] PC/IE
2013/03/02 00:12
(4)*無表記ですが、底は2です。
logx・logx/2=12
logx(logx-1)=12
logx=4,-3
∴x=16、1/8 ‥ツテ
(5)
n≧2のとき、Sn=n2^(n+1)より、
S(n-1)=(n-1)2^n
よって、
an=Sn-S(n-1)
=n2^(n+1)-(n-1)2^n
=(n+1)2^n
これは、n=1のときも成り立つ。
∴an=(n+1)2^n ‥ト
2013/03/02 00:12
(4)*無表記ですが、底は2です。
logx・logx/2=12
logx(logx-1)=12
logx=4,-3
∴x=16、1/8 ‥ツテ
(5)
n≧2のとき、Sn=n2^(n+1)より、
S(n-1)=(n-1)2^n
よって、
an=Sn-S(n-1)
=n2^(n+1)-(n-1)2^n
=(n+1)2^n
これは、n=1のときも成り立つ。
∴an=(n+1)2^n ‥ト
[6] PC/IE
2013/03/02 00:59
いよいよ今年の北九大国際環境工学部の受験生の多くが
悩んだ(私のクラスメイトだけかもしれませんが)と思われる
第3問です。
自分も普通の高校3年生なので、今から書く回答には多くの不備が
あるかもしれませんが、暖かく見守ってやってください(笑)
この問題はイメージ力が重要になります。
容器の切り口に注目すると、もちろん円ですね。
2点A,Bがこの円の直径の両端になるようにとりましょう。
(1)3点O,A,Bを含む平面で球体を切断すると、
その断面は点Oを中心とする半径rの円である。
ここで、
座標平面の原点と点Oが重なり、
切り口がy軸方向に真上を向くように重ねます。
球体の体積は球の体積の公式に代入すると一発で出ますが。
しかし、この問では、
さっきの座標平面上の円のy=r/2よりも上の部分は切り取られてしまっているので、
切り取れた部分の回転体の体積を求め、球体の体積から引くとよいでしょう。
円の方程式はx^2+y^2=r^2
∴x^2=r^2-y^2
よって、切り取られた部分の体積は、
π∫[r/2→r]x^2dy=π∫[r/2→r](r^2-y^2)dy
=(5πr^3)/24
球体の体積は、(4πr^3)/3 なので、
求める容器の体積は 、
(4πr^3)/3 -(5πr^3)/24
=(9πr^3)/8 ‥(答)
(2)
問題用紙にあるように、容器を真横からみて、
点A(またはB) が点Oの真下にくればよい。
∠AOB=120°であることが長さの比からわかるので、
点A(またはB)が点Oの真下にくるのは120°傾けたときであることがわかる。
∴θe=(2π)/3 [120°] ‥(答)
2013/03/02 00:59
いよいよ今年の北九大国際環境工学部の受験生の多くが
悩んだ(私のクラスメイトだけかもしれませんが)と思われる
第3問です。
自分も普通の高校3年生なので、今から書く回答には多くの不備が
あるかもしれませんが、暖かく見守ってやってください(笑)
この問題はイメージ力が重要になります。
容器の切り口に注目すると、もちろん円ですね。
2点A,Bがこの円の直径の両端になるようにとりましょう。
(1)3点O,A,Bを含む平面で球体を切断すると、
その断面は点Oを中心とする半径rの円である。
ここで、
座標平面の原点と点Oが重なり、
切り口がy軸方向に真上を向くように重ねます。
球体の体積は球の体積の公式に代入すると一発で出ますが。
しかし、この問では、
さっきの座標平面上の円のy=r/2よりも上の部分は切り取られてしまっているので、
切り取れた部分の回転体の体積を求め、球体の体積から引くとよいでしょう。
円の方程式はx^2+y^2=r^2
∴x^2=r^2-y^2
よって、切り取られた部分の体積は、
π∫[r/2→r]x^2dy=π∫[r/2→r](r^2-y^2)dy
=(5πr^3)/24
球体の体積は、(4πr^3)/3 なので、
求める容器の体積は 、
(4πr^3)/3 -(5πr^3)/24
=(9πr^3)/8 ‥(答)
(2)
問題用紙にあるように、容器を真横からみて、
点A(またはB) が点Oの真下にくればよい。
∠AOB=120°であることが長さの比からわかるので、
点A(またはB)が点Oの真下にくるのは120°傾けたときであることがわかる。
∴θe=(2π)/3 [120°] ‥(答)
[8] sp/SonySO-02E
2013/03/15 14:53
訂正ありがとうございます(^q^)
携帯を買い替えたので新しくここから書き込みます。(´・ω・`)
第3問
(3)
(2)より、
θの範囲は、0<θ<2π/3 である。
何度も言いますが、この問題は,イメージ力が大切です。
指示の通りに作図をすると
解りやすくなるかも知れませんので、
しっかりと作図してみましょう。
さらに、残った水の体積は一つの計算式からは
求められないのは明らかですから、
解答の方針としては、
球体に入っている水の水面から上の部分の体積を求める。
ということです。
(1)とおなじように球体を半分に切断した
断面図である半径rの円を座標平面におく、
第一象限にある方の切り口の点Aに注目!
容器に残っている水のの水面はこの点Aを通る、
y軸に垂直な直線に一致する。(イメージしてくださいね!)
ここで、この直線と円に囲まれた部分のうち、
水が入っていない方の図形について、
まず、点Aのy座標はθの値によって、どんどん小さくなって、
θ=0のとき、y座標はr/2
θ=2π/3のとき、y座標は-r
なので、
y=rsin(π/6−θ)
ゆえに、
水が入っていない部分の体積をVoとすると、
この図形をy軸について一回転してできる
図形の体積であるので、
Vo= π∫[rsin(π/6−θ)→r]x^2dy
=π∫[rsin(π/6−θ)→r](r^2−y^2)dy
=(2π/3)r^3−πr^3sin(π/6−θ)+(π/3)r^3sin^3(π/6−θ ) (途中計算式は省略します)
ここで、球体の体積は(4π/3)r^3なので、
V=(4π/3)r^3−Vo
=−(π/3)r^3{sin^3(π/6−θ)−3sin(π/6−θ)−2} (計算省略)
2013/03/15 14:53
訂正ありがとうございます(^q^)
携帯を買い替えたので新しくここから書き込みます。(´・ω・`)
第3問
(3)
(2)より、
θの範囲は、0<θ<2π/3 である。
何度も言いますが、この問題は,イメージ力が大切です。
指示の通りに作図をすると
解りやすくなるかも知れませんので、
しっかりと作図してみましょう。
さらに、残った水の体積は一つの計算式からは
求められないのは明らかですから、
解答の方針としては、
球体に入っている水の水面から上の部分の体積を求める。
ということです。
(1)とおなじように球体を半分に切断した
断面図である半径rの円を座標平面におく、
第一象限にある方の切り口の点Aに注目!
容器に残っている水のの水面はこの点Aを通る、
y軸に垂直な直線に一致する。(イメージしてくださいね!)
ここで、この直線と円に囲まれた部分のうち、
水が入っていない方の図形について、
まず、点Aのy座標はθの値によって、どんどん小さくなって、
θ=0のとき、y座標はr/2
θ=2π/3のとき、y座標は-r
なので、
y=rsin(π/6−θ)
ゆえに、
水が入っていない部分の体積をVoとすると、
この図形をy軸について一回転してできる
図形の体積であるので、
Vo= π∫[rsin(π/6−θ)→r]x^2dy
=π∫[rsin(π/6−θ)→r](r^2−y^2)dy
=(2π/3)r^3−πr^3sin(π/6−θ)+(π/3)r^3sin^3(π/6−θ ) (途中計算式は省略します)
ここで、球体の体積は(4π/3)r^3なので、
V=(4π/3)r^3−Vo
=−(π/3)r^3{sin^3(π/6−θ)−3sin(π/6−θ)−2} (計算省略)
[9] sp/SonySO-02E
2013/03/15 14:56
すみません(´・ω・`)
上の書き込みの初めのθの範囲に訂正があります。
0<θ<2π/3 …×
0≦θ≦2π/3 …◯
失礼しました(O.O;)(oo;)
2013/03/15 14:56
すみません(´・ω・`)
上の書き込みの初めのθの範囲に訂正があります。
0<θ<2π/3 …×
0≦θ≦2π/3 …◯
失礼しました(O.O;)(oo;)
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